\renewcommand{\doctitle}{\docTitlePre (23.10.2009)}
% Forsetzung von 2009-10-21

% BSO 1.15

\step{Wiederholung:}
$$y'(t)=f(t,y(t))\hs t\in I=[0, T] \hs y(0)=x$$
Mit $Y=C^1(I), \hs Z=\R$

$$G(y, x) = |y(0) -x|+\sup_{t\in I} | y'(t)-f(t, y(t))|$$

% FIXME: Insert Graph (welcher?)
„Gitter“ $\hs k\in\N$
$$\Delta t^{(k)}=\frac{T}{k}\hs t^{(k)}_i = i \Delta t^{(k)}\hs 0\leq i \leq k$$

Taylorreihe:
$$ \frac{1}{\Delta t^{(k)}}\left( y(t^{(k)}_i)-y(t^{(k)}_i)\right) - f\left( t^{(k)}_{i-1}, y(t^{(k)}_{i-1})\right) = \bigo(\Delta t^{(k)}) \ra 0\text{ für }k\ra\infty$$

\step{Numerisches Verfahren:}
Definiere Zahlen $y^{(k)}_i \in \R\hs 0\leq i \leq k$ mit $ y^{(k)}_0 = x$

$$(**)\hs \frac{1}{\Delta t^{(k)}} \left( y^{(k)}_i - y^{(k)}_{i-1}\right) - f \left (t^{(k)}_{i-1}, y^{(k)}_{i-1} \right) = 0\hs 0 < i \leq k$$

Mit
\begin{align*}
Y^{(k)} & = \R^{k+1} & y^{(k)} &=( y^{(k)}_0, \cdots, y^{(k)}_k)^T \\
X^{(k)} & = \R       & Z^{(k)} &=\R^{k+1} \\
\end{align*}

$$G^{(k)}(y^{(k)}, x) = \begin{cases}
y^{(k)}_i -x & i=0\\
\frac{1}{\Delta t^{(k)}} (y^{(k)}_i-i^{(k)}_{i-1}) - f(t^{(k)}_{i-1}, y^{(k)}_{i-1} & \text{sonst}\\
\end{cases}$$

$$G^{(k)}(y^{(k)}, x)=0\hs\text{Numerische Lösung der AWA}$$

\step{„Lösungsoperator“}
$$\begin{array}{rcl}
F^{(k)}\colon & X^{(k)} &\ra Y^{(k)}\\
         & \R      &\ra \R^{k+1}
\end{array}$$

$$y^{(k)}_i = F^{(k)}_i(x)=
\begin{cases}
x & i=0\\
F^{(k)}_{i-1}(x) + \Delta t^{(k)} f(t^{(k)}_{i-1}, F^{(k)}_{i-1}(x)) & i > 0\\
\end{cases}$$

\step{„Konsistenz“}
$$R^{(k)}\colon \ub{Y}_{(I)} \ra \ub{Y^{(k)}}_{\R^{k+1}}: (R^{(k)} v)_i = v(t^{(k)}_i)$$
$$G^{(k)}(R^{(k)}y, x) \ra 0\text{ für } k\ra\infty$$

\step{„Stabilität“}
Betrachte $H^{(k)}\colon Z^{(k)} \times X^{(k)} \ra Y^{(k)}$ löst $G^{(k)}(y^{(k)}, x) = z^{(k)}$
$F^{(k)}(x)=H^{(k)}(0, x)$

$$Z^{(k)}_i = H^{(k)}_i (Z^{(k)}_i x) = \begin{cases}
x+Z^{(k)}_0 & i=0\\
H^{(k)}_{i-1}(Z^{(k)}_i x) + \Delta t^{(k)} f(t^{(k)}_{i-1}, H^{(k)}_{i-1} (Z^{(k)}_i x)) + \Delta t^{(k)} z_i^{(k)}\\
\end{cases}
$$

Zeige: H L-Stabil bezüglich Argument $Z^{(k)}$! $\Ra$ Numerik 1!
\end{bsp}

% FIXME: Link zu Folien zu Rechengenauigkeit hier

% Sektion 2
\section{Fließkommazahlen}
% Bsp 2.1
\begin{bsp}{$e^x\ra\text{ Folien}$}
\end{bsp}

% 2.1
\subsection{Zahlendarstellung}
Stellenwertsystem: $x \ub{\pm}_{\text{Vorzeichen}} \ldots m_2\beta^2 + m_1\beta + m_0 + m_{-1} + m_{-2} \beta^{-2} + \ldots$

$\beta$ Basis, $\beta \in \N$, $\beta \geq 2$\\
$m_i \in \left\{ 0, 1, 2, \ldots, \beta-1 \right\}$ heißen \emph{Ziffern}

Geschichte: [Knuth, Band 2, Seite 194]
\begin{itemn}
    \item Babylonier ($\approx$ -1750), $\beta = 60$
    \item Basis $10$ ab ca. 1580
    \item Pascal: $\beta \geq 2$ möglich
\end{itemn}

Festkommazahlen:
$$ x = \pm \sum^n_{i=-k} m_i\beta^i$$

Problem:
\begin{eqnarray*}
\text{Plancksches Wirkungsquantum: }& 6.626093\cdot 10^{-34} Js\\
\text{Avogadrokonstante:           }& 6.021415\cdot 10^{23} \frac{1}{\text{mod}}\\
\end{eqnarray*}

% Def 2.2
\begin{defi}[normierte Fließkommazahlen]
Sei $\beta, v, s \in \N$ und $ \beta \geq 2$. $\F(\beta, r, s) \subset \R$ besteht aus den Zahlen mit folgenden Eigenschaften:
\begin{enum_a}
    \item $\forall x\in \F(\beta, r, s)$ gilt $ x=m(x)\cdot \beta^{e(x)}$ mit
    $$m(x)=\pm \sum^r_{i=1} m_i \beta^{i-1}\ \text{„Mantisse“} \hs\hs e(x)=\pm \sum^{s-1}_{j=0} e_j \beta^j\ \text{„Exponent“}$$
    $$\text{Problem: doppelte Darstellungen. Beispiel: } \frac{1}{10} = 0.1\cdot 10^0 \text{ vs } 0.01 \cdot 10^1$$
    \item $\forall x\in \F(\beta, r, s)$ gilt $ x=0 \vee m_1 \neq 0$
\end{enum_a}
Für $x\in\F(\beta, r, s)$ und $x\neq 0$ gilt wegen b)
\begin{equation}
% Gleichung 2.1
\frac{1}{\beta} \leq |m(x)| < 1 \hs \beta^{e(x)-1} \leq |x| \leq \beta^{e(x)}  \label{gl2_1}
\end{equation}
\end{defi}

% 2.3
\begin{bsp}
\fixspace
\begin{enum_a}
    \item $\F(10, 3, 1)$ besteht aus den Zahlen:\\
          $x = \pm (m_1\cdot 0.1 + m_2 \cdot 0.01 + m_3\cdot 0.001)\cdot 10^{\pm e_0}$\\
          mit $m_1 \neq 0 \vee (m_1= 0 \wedge m_2=0 \wedge m_3=0)$\\
          z.B. $0.999\cdot 10^1 \hs \cancel{0.024\cdot 10^3} \rightsquigarrow 0.24 \cdot 10^2$
    \item $\F(2, 2, 1)$ besteht aus Zahlen der Form:\\
          $$x=\pm \ub{\left(m_1 \frac{1}{2} + m_2 \frac{1}{4}\right)}_{\{0, \frac{1}{2}, \frac{3}{4}\}} \ub{\cdot 2^{\pm e_0}}_{\{ 2^{-1}, 1, 2^1\}}\hs \hs m_1 = 1$$\\
          $$\F(2, 2, 1)=\left\{
            \ub{-\frac{3}{2}, -1}_{\{-\frac{3}{4}, -\frac{1}{2}\}\cdot 2}
            \ub{-\frac{3}{4}, -\frac{1}{2}}_{\{-\frac{3}{4}, -\frac{1}{2}\}\cdot 1}
            \ub{-\frac{3}{8}, -\frac{1}{4}}_{\{-\frac{3}{4}, -\frac{1}{2}\}\cdot \frac{1}{2}},
            0,
            \frac{1}{4},
            \frac{3}{8},
            \frac{1}{2},
            \frac{3}{4},
            1,
            \frac{3}{2}\right\}$$
\end{enum_a}

% Insert Zahlenstrahl mit unterschiedlichen Abständen FIXME
\end{bsp}